本題考查統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)。

用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題-般有如下幾個(gè)步驟。

①建立數(shù)學(xué)模型。分析實(shí)際問題，由實(shí)際問題抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

②收集數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，或選擇其他適當(dāng)方法(調(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量)收集數(shù)據(jù)。其中，在收集數(shù)據(jù)的過程中，可以全面觀測(cè)所有總體并得到數(shù)據(jù)，這-過程稱為普查；選取適當(dāng)抽樣方法從總體數(shù)據(jù)中抽取部分樣本進(jìn)行觀測(cè)并得到數(shù)據(jù)的過程叫作抽樣調(diào)查。

③整理數(shù)據(jù)。對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行審核、校正、整理，從而使之系統(tǒng)化、條理化，并用文字、圖畫、表格等方式表示數(shù)據(jù)。其中，可運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等直觀地表示數(shù)據(jù)。

④分析數(shù)據(jù)。運(yùn)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)字特征，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并進(jìn)-步估計(jì)出總體的數(shù)字特征。

⑤解釋數(shù)據(jù)。結(jié)合總體數(shù)字特征，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解讀。

⑥得出實(shí)際問題的相關(guān)結(jié)論。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的形式多樣，主要有口頭測(cè)驗(yàn)、書面測(cè)驗(yàn)、開放式問題研究、活動(dòng)報(bào)告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、建立成長(zhǎng)記錄袋等。下面列舉幾種不同的評(píng)價(jià)方式進(jìn)行闡述。①口頭測(cè)驗(yàn)，是指在教學(xué)過程中教師通過與學(xué)生之間的言語(yǔ)互動(dòng)，及時(shí)地了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，找出問題并及時(shí)糾正。

②書面測(cè)驗(yàn)，是指教師對(duì)學(xué)生的作業(yè)或者其他測(cè)驗(yàn)報(bào)告所做的書面性的評(píng)價(jià)。這種評(píng)價(jià)方式可以幫助教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)以及知識(shí)掌握水平。

③書面評(píng)語(yǔ)評(píng)價(jià)，教師對(duì)學(xué)生的作業(yè)或者其他活動(dòng)報(bào)告所做的書面性的評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)形式不僅僅是分?jǐn)?shù)或者等級(jí)，評(píng)語(yǔ)-般應(yīng)是鼓勵(lì)為主，用以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)與解決問題。

④課后訪談，是指教師通過課后與學(xué)生的溝通交流了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的-種評(píng)價(jià)方式。這種評(píng)價(jià)方式可以幫助教師更直接地了解到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況。

⑤建立成長(zhǎng)記錄袋，是指將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行有效記錄而形成的書面存檔。這種評(píng)價(jià)方式既可以幫助教師隨時(shí)了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成長(zhǎng)經(jīng)歷，也可以有效地幫助學(xué)生確立今后的學(xué)習(xí)目標(biāo)與方向。

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容均與函數(shù)有非常密切的聯(lián)系。

①函數(shù)與方程。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中-元二次方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化成求對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)問題。例如，求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)Y=O,x2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，即求函數(shù)的零點(diǎn)問題。由此可以看出，方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了思考函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)問題。利用函數(shù)的整體性質(zhì)可以研究方程的根的性質(zhì)，判斷根的個(gè)數(shù)，并估計(jì)根所在的區(qū)間。

②函數(shù)與不等式。用函數(shù)的觀點(diǎn)看，不等式就是確定使函數(shù)Y=f(x)圖像在x軸上方或下方的x的區(qū)域。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的-元二次不等式的求解問題，可以借助二次函數(shù)的圖像找到不等式的解集。例如，求不等式x2—3x+2>0的解集，可以通過畫出函數(shù)f(x)=x2-3x+2的圖像找到使函數(shù)值大于0的所有x組成的集合，而這個(gè)集合就是該不等式的解集。

③函數(shù)與數(shù)列。數(shù)列是-種特殊的函數(shù)，它的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集或自然數(shù)子集。數(shù)列是離散的函數(shù)，表現(xiàn)在坐標(biāo)系中是-些離散的點(diǎn)的集合。中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是-次函數(shù)的離散化，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是二次函數(shù)的離散化，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式都是指數(shù)函數(shù)的離散化，因此可以借助函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列。例如，求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n2—4n在第幾項(xiàng)取得最小值，可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)=x2--4x的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)問題，根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)．f(x)取得最小值，即Sn在第2項(xiàng)取得最小值?？傊?，在方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容中，可以用函數(shù)思想思考、解決問題，用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。

  (1)甲教師的教學(xué)在落實(shí)課標(biāo)這-理念的過程中缺乏對(duì)實(shí)際情況的應(yīng)急應(yīng)變，并且其為引導(dǎo)學(xué)生思考而設(shè)置的問題目的性不強(qiáng)。在教學(xué)過程中，甲教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，這體現(xiàn)了教師的組織者角色，但在學(xué)生討論例題的過程中，甲教師沒有設(shè)置鋪墊問題，也沒有做進(jìn)-步的引導(dǎo)，所以甲教師在身為組織者和引導(dǎo)者方面存在不足。此外，當(dāng)學(xué)生討論的結(jié)論與自己預(yù)設(shè)的不同時(shí)，甲教師雖然意識(shí)到學(xué)生進(jìn)入了思維誤區(qū)并及時(shí)中止了學(xué)生的思考，但是其中止之后并沒有設(shè)計(jì)教學(xué)問題以引導(dǎo)學(xué)生走出思維誤區(qū)，只是-味地批評(píng)學(xué)生的錯(cuò)誤思路，從而導(dǎo)致第二次終止討論，所以甲教師在身為合作者和引導(dǎo)者方面存在不足。乙教師的教學(xué)在落實(shí)課標(biāo)這-理念的過程中雖然其引導(dǎo)者的作用得到了充分的體現(xiàn)，但是學(xué)生主體地位的體現(xiàn)有些缺失，教師的合作者以及組織者的角色落實(shí)不到位。在教學(xué)過程中，乙教師能夠引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析，進(jìn)而帶領(lǐng)學(xué)生突破知識(shí)的難點(diǎn)，這體現(xiàn)了乙教師的引導(dǎo)者角色，但乙教師的講解過于詳細(xì)，從而限制了學(xué)生的思維，所以沒有很好地體現(xiàn)以學(xué)生為主體的課標(biāo)要求。此外，在學(xué)生討論的過程中，乙教師既沒有做好明確的分組，也沒有進(jìn)行巡視指導(dǎo)并參與到學(xué)生的討論中去，所以乙教師在身為組織者與合作者方面存在不足。

(2)甲教師存在的問題：①討論的問題對(duì)于學(xué)生有-定的難度，需要教師給予-定的引導(dǎo)或問題鋪墊，如對(duì)最短路線的探討，何為最短路線，螞蟻爬過的路徑如何進(jìn)行計(jì)算，等等。②在學(xué)生探究之初僅僅因?yàn)榕c教學(xué)預(yù)設(shè)不符就開始質(zhì)疑學(xué)生，中止討論，并且當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤太多時(shí)終止思考，這些行為都反映出該教師對(duì)于課堂的-些突發(fā)情況缺乏應(yīng)急應(yīng)變能力。③該教師既沒有讓學(xué)生在討論探索中去發(fā)現(xiàn)問題，也沒有做到充分的引導(dǎo)，因此沒有真正落實(shí)課標(biāo)提出的以學(xué)生為主體的要求，造成了“偽探究”的現(xiàn)象。④該教師在教學(xué)過程中的措辭不當(dāng)，如“畫圖有什么用”等。這顯得教師不夠尊重學(xué)生，沒有平等地對(duì)待學(xué)生。而在探究學(xué)習(xí)過程中，教師要成為學(xué)生活動(dòng)的參與者，與學(xué)生-起體會(huì)曲折的學(xué)習(xí)過程，感受學(xué)習(xí)中遇到的失敗和成功。乙教師存在的問題：乙教師在教學(xué)過程中的引導(dǎo)過多，從而導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)地接受結(jié)果，失去了學(xué)生探究的真正意義，沒有讓學(xué)生的思維得到充分的發(fā)展。

兩位教師的教學(xué)活動(dòng)雖然設(shè)置的是探究活動(dòng)，但都忽略了探究活動(dòng)是為了發(fā)展學(xué)生的綜合應(yīng)用的能力。兩位教師都只注重知識(shí)結(jié)果的呈現(xiàn)，而忽視了數(shù)學(xué)方法的呈現(xiàn)，學(xué)生在活動(dòng)中的體驗(yàn)，對(duì)學(xué)生學(xué)情的思考以及學(xué)生思維的發(fā)展并沒有積極效果。

(3)組織數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，需要注意以下事項(xiàng)。

①探究活動(dòng)內(nèi)容的選擇要合理。要使探究活動(dòng)更有效，需要發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)探究?jī)?nèi)容要有激發(fā)性，也就是說，探究的問題能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，問題的設(shè)置要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。②探究活動(dòng)的指導(dǎo)要合理。在探究活動(dòng)中，教師要扮演好組織者、引導(dǎo)者、合作者的角色。首先要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的情境，其次要保證學(xué)生有探究的時(shí)間，再次探究活動(dòng)并不是讓學(xué)生毫無(wú)節(jié)制的大談?wù)摚蔷木幹频慕虒W(xué)活動(dòng)，所以教師不能孤立于學(xué)生之外，要及時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)，并對(duì)學(xué)生的探究結(jié)果做出合理的評(píng)價(jià)。

③在探究活動(dòng)中，正確處理教師的“引”和學(xué)生的“探”的關(guān)系。在探究過程中，學(xué)生作為探究的主體，需要通過自己的探究去發(fā)現(xiàn)新事物。教師作為引導(dǎo)者要發(fā)揮指向燈的作用，既要在學(xué)生脫離主題的時(shí)候，適時(shí)地引導(dǎo)方向，又不能過分地牽制學(xué)生的思想，造成“偽探究”的現(xiàn)象，還要注重全體參與，讓每個(gè)學(xué)生體驗(yàn)成功的樂趣。

(1)例1的教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握必需的獨(dú)立探究和發(fā)現(xiàn)問題的能力。

過程與方法目標(biāo)：通過計(jì)算并觀察結(jié)果與乘數(shù)的關(guān)系從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提升自主學(xué)習(xí)能力、獨(dú)立思考能力、發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在探索學(xué)習(xí)的過程中，感受該乘法運(yùn)算中的有趣規(guī)律，發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

例2的教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：初步了解證明方法，掌握公式證明的思維過程，學(xué)會(huì)通過-般性的證明來(lái)驗(yàn)證自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。過程與方法目標(biāo)：通過從數(shù)值運(yùn)算到符號(hào)公式表達(dá)的過程，感受數(shù)學(xué)證明中從特殊到-般的過程，從而形成數(shù)學(xué)思維，并養(yǎng)成提出問題、分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在證明規(guī)律的過程中，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(2)教學(xué)過程

活動(dòng)-：教師讓學(xué)生觀察并討論例1得出的運(yùn)算規(guī)律，之后教師將其板書展示。

師：觀察黑板上的運(yùn)算規(guī)律，15，25，95可以拆分成什么式子來(lái)袁示呢?

(預(yù)設(shè))生：l5=1×10+5；25=2×10+5；95=9×10+5。(教師板書)

師：我們由此可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

(預(yù)設(shè))生：因數(shù)等于因數(shù)十位上的數(shù)字乘10加5。

師：在上述式子中，我們可以發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)字是變化的，哪些又是不變的?

(預(yù)設(shè))生：l，2，9是變化的；10和5是不變的。

師：我們知道變量可以用字母表示，如果用字母。來(lái)代表1，2，9，上述式子中的l5，25，95可以表示成什么?(學(xué)生討論)

(預(yù)設(shè))生：a×l0+5(a=1，2，9)。

活動(dòng)二：教師讓學(xué)生分析例l發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(15×15=1×2×100+25：25×25=2×3×100+25：95×95=9×10×100+25)，并讓其試著運(yùn)用字母a進(jìn)行表示。

預(yù)設(shè)學(xué)生回答：(a×l0+5)2=a(a+1)×100+25(a=1，2，9)。

師：假設(shè)a代表小于10的任意正整數(shù)，那么例l中乘法運(yùn)算就可以-般化為-個(gè)公式，即(a×l0+5)2=a(a+1)×100+25(a=1，2，…，9)。

師：這個(gè)公式就是我們通過分析例1的運(yùn)算規(guī)律所得出的猜想。

(3)教學(xué)過程

活動(dòng)-：教師讓學(xué)生自主思考公式(a×l0+5)2=a(n+1)×100+25的正確性，討論并驗(yàn)證猜想正確性的證明方法。

師：觀察等號(hào)左邊，我們可以發(fā)現(xiàn)什么?

(預(yù)設(shè))生：等號(hào)左邊是-個(gè)完全平方式。

活動(dòng)二：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2。

師：運(yùn)用完全平方公式，可以知道(a×l0+5)2等于什么?

(預(yù)設(shè))生：(a×l0+5)2=a2×100+2a×l0×5+25。

師：進(jìn)-步運(yùn)算可以得到什么?

(預(yù)設(shè))生：a2×100+2a×lo×5+25=a2×100+a×l00+25=a(a+1)×100+25(a=1，2，…，9)。

師：我們可以看到，運(yùn)算的最終結(jié)果是等號(hào)兩邊的式子相等，即公式得證。

(4)教學(xué)過程

師：繼續(xù)觀察例1中的算式，還能有什么發(fā)現(xiàn)呢?請(qǐng)觀察每個(gè)式子中的兩個(gè)因數(shù)。

預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)式子中的兩個(gè)因數(shù)都是-樣的，而且個(gè)位上的數(shù)字之和為l0。

師：大家計(jì)算下面幾個(gè)式子，看看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。

38×32，43×47，81 ×89。

師：這些式子中的因數(shù)有什么特點(diǎn)嗎?

教師引導(dǎo)學(xué)生直到學(xué)生能夠答出：這些式子中的兩個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)相加等于10。

師：這三個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果分別是38×32=1216，43×47=2021，81×89=7209，結(jié)合我們剛才得到的結(jié)論，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?

引導(dǎo)學(xué)生直到學(xué)生能夠答出：計(jì)算結(jié)果中的后兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位上的數(shù)的乘積，前兩位數(shù)是因數(shù)的十位上的數(shù)加-乘十位上的數(shù)本身。

師．結(jié)合例1申的計(jì)算過程．請(qǐng)大家補(bǔ)全下列算式。(板書展示)

預(yù)設(shè)：經(jīng)過剛才的教學(xué)，學(xué)生能夠順利補(bǔ)全上述算式。

師：我們用代數(shù)式怎么表示這個(gè)算式呢?

引導(dǎo)學(xué)生直到學(xué)生能夠答出：可以用10a+b表示其中-個(gè)因數(shù)，用10a+(10-b)表示另-個(gè)因數(shù)，并通過觀察得出猜想：

(10a+b)[10a+(10-b)]=a(a+1)×100+b(10-b)。

師：這里的a是正整數(shù)，大家知道b要取什么數(shù)嗎?

引導(dǎo)學(xué)生直到學(xué)生能夠答出：小于10的正整數(shù)。

師：下面請(qǐng)大家用我們剛才學(xué)過的知識(shí)證明-下這個(gè)算式。

預(yù)設(shè)：教師觀察學(xué)生的計(jì)算過程，并找兩位學(xué)生在黑板上板演，結(jié)合學(xué)生的板演進(jìn)行講解，以深化大家的理解。

  板演過程：

(10a+b)[10a+(10-b)]

=l0a2+l0a(10-b)+l0ab+b(10-b)

=100a2+100a—l0ab+l0ab+b(10-b)

=a(a+1)×l00+b(10-b)

【練習(xí)】口算下列算式：

①17×13；(②)24×26；(③)33×37；④45×45；(⑤)51×59。

師(小結(jié))：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們以快速口算出兩個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)相加等于10的算式。在學(xué)習(xí)的過程中，我們先通過-些算式找出規(guī)律，并根據(jù)這些規(guī)律歸納猜想出對(duì)應(yīng)的公式，最后經(jīng)過嚴(yán)格的證明驗(yàn)證我們的猜想，我們稱這-過程所貫穿的思維方法為歸納推理。