三、解答題(本大題1小題，10分)

14．若函數(shù)ƒ(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)。

(1)若ƒ(1)= ƒ(0)+3，證明：存在ξ∈(0，1)，使得ƒ´(ξ)=3。(5分)

(2)若ƒ(1)=0，求證方程xƒ´(x)+ƒ(x)=0在(0，1)內(nèi)至少有一個實根。(5分)

四、論述題(本大題1小題，15分)

15．函數(shù)單調(diào)性是刻畫函數(shù)變化規(guī)律的重要概念，也是函數(shù)的一個重要性質(zhì)。

(1)請敘述函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增的定義，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，說明中學(xué)數(shù)學(xué)課程中函數(shù)單調(diào)性與哪些內(nèi)容有關(guān)。(至少列舉出兩項內(nèi)容)(7分)

(2)請列舉至少兩種研究函數(shù)單調(diào)性的方法，并分別簡要說明其特點。(8分)

五、案例分析題(本大題1小題，20分)閱讀案例，并回答問題。

16．在《有理數(shù)的加法》一節(jié)中，對于有理數(shù)加法的運算法則的形成過程，兩位教師的一些教學(xué)環(huán)節(jié)分別如下：

【教師1】

第一步：教師直接給出幾個有理數(shù)加法算式，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)有理數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，將加法算式分成六類，即：正數(shù)與正數(shù)相加，正數(shù)與負(fù)數(shù)相加，正數(shù)與0相加，0與0相加，負(fù)數(shù)與0相加，負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相加；

第二步：教師給出具體情境，分析兩個正數(shù)相加、兩個負(fù)數(shù)相加、正數(shù)與負(fù)數(shù)相加的情況；

第三步：讓學(xué)生進(jìn)行模仿練習(xí)；

第四步：教師將學(xué)生模仿練習(xí)的題目再分成四類：同號相加，一個加數(shù)是0，互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加，異號相加。分析每一類題目的特點，得到有理數(shù)加法法則。

【教師2】

第一步：請學(xué)生列舉一些有理數(shù)加法的算式；

第二步：要求學(xué)生先獨立運算，然后小組討論，再全班交流。對于討論交流的過程，教師提出具體要求：運算的結(jié)果是什么?你是怎么得到結(jié)果的?

……討論過程中。學(xué)生提出利用具體情境來解釋運算的合理性……

第三步：教師提出問題：“不考慮具體情境，基于不同情況分析這些算式的運算有哪些規(guī)律?”

……分組討論后再全班交流，歸納得到有理數(shù)加法法則。

問題：

(1)兩位教師均重視分類討論思想，簡要說明并評價這兩位教師關(guān)于分類討論思想的教學(xué)方法的差異；(8分)

(2)請你再舉兩個分類討論的例子，并結(jié)合你的例子談?wù)剬?shù)學(xué)中的分類討論思想及其教學(xué)的理解。(12分)

六、教學(xué)設(shè)計題(本大題1小題，30分)

17．《多邊形的內(nèi)角和》是八年級上冊的內(nèi)容，如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和公，式是該節(jié)課的重點。

(1)如果將讓學(xué)生體驗“數(shù)學(xué)思考”作為該節(jié)課的一項教學(xué)目標(biāo)，那么請列出該節(jié)課涉及的“數(shù)學(xué)思考的方法”；(10分)

(2)請給出兩種引導(dǎo)學(xué)生猜想四邊形內(nèi)角和的學(xué)生活動設(shè)計；(6分)

(3)請列出兩種證明四邊形內(nèi)角和的學(xué)生活動設(shè)計；(6分)

(4)某教師在《多邊形的內(nèi)角和》一節(jié)的教學(xué)中，設(shè)計了如下兩個問題，你能說出我們?yōu)槭裁匆芯克倪呅蔚膬?nèi)角和嗎?你能基于四邊形的內(nèi)角和的證法，得到五邊形、六邊形，……，n邊形內(nèi)角和計算公式和證明方法嗎?請分析該教師設(shè)計這兩個問題的意圖。(8分)

參考答案

12．【參考答案】

不等式(組)是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，它有廣泛的應(yīng)用，課程的教學(xué)目標(biāo)主要是使學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)知識以及一類最簡單的不等式(組)——一元一次不等式(組)，并運用它們解決一些數(shù)學(xué)問題和實際問題，在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)和一元一次不等式(組)的解法時，與不等式的性質(zhì)和方程(組)的解法進(jìn)行類比．有益于對知識的理解和掌握。解方程組是逐步將方程化為x=a的形式，類似地，解不等式是逐步將不等式化為x＞a或x＜a的形式，兩者都運用了化歸的思想。

13．【參考答案】

(1)了解定理的內(nèi)容，能夠解決什么問題。

例如在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，可以設(shè)計成將∠AOB對折，再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊)，然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕。重復(fù)操作以上步驟(改變第二次折疊的位置)并觀察結(jié)果。

(2)理解定理的含義，認(rèn)識定理的條件和結(jié)論，如在公式推導(dǎo)過程中對條件引起注意，通過對結(jié)論從結(jié)構(gòu)、功能、性質(zhì)、使用步驟等角度分析以加深印象和理解。

例如，在定理新授環(huán)節(jié)和學(xué)生一起研究、明確命題中的已知和求證；再根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證。

(3)定理的證明或推導(dǎo)過程：學(xué)生與老師一起研究證明方法，如不需證明，學(xué)生根據(jù)老師提供的材料體會定理規(guī)定的合理性。

例如，在定理講授證明環(huán)節(jié)，經(jīng)過分析，找出由已知運用學(xué)過的知識推出求證的途徑，寫出證明過程，并得到結(jié)論。

(4)熟悉定理的使用，循序漸進(jìn)地應(yīng)用定理，將定理納入到已有的知識體系中去。

例如，可以通過定理深化、應(yīng)用環(huán)節(jié)，與已有知識相聯(lián)系解決課本上的例題．并聯(lián)系生活實際問題與學(xué)生一起探討研究。

(5)引申和拓展定理的運用。

例如，布置作業(yè)，讓學(xué)生思考角平分線定理的逆命題并證明。

三、解答題

14．【參考答案】

(1)設(shè)F(x)=ƒ(x)-3x，所以F(0)=ƒ(0)，F(xiàn)(1)= ƒ(1)-3，又因為ƒ(1)=ƒ(0)+3，所以F(0)=F(1)。又函數(shù)ƒ(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)，所以F(x)=ƒ(x)-3x在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)，所以根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=ƒ´(ξ)-3=0，即存在ξ∈(0，1)，使得ƒ´(ξ)=3。

(2)證明：設(shè)G(x)=xƒ(x)，有ƒ(1)=0，所以G(0)=0·ƒ(0)=0，G(1)=1·ƒ(1)=0，所以G(0)=G(1)，又有函數(shù)ƒ(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)，所以G(x)=妒0)在[0，1]上連續(xù)，在(0，I)可導(dǎo)，所以根據(jù)羅爾定理，存在'7∈(0，1)，使得G´(η)=ηƒ´(η)+ƒ(η)=0，所以方程xƒ(x)+ƒ(x)=0在(0，1)至少有一個實根。

四、論述題

增，反之則單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)法適用于函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)且能判斷導(dǎo)函數(shù)與零的大小關(guān)系的情形，針對定義法解決不了的題型，或者用定義法解題相對比較繁瑣。用導(dǎo)數(shù)法解題可能會比較簡單。導(dǎo)數(shù)法提供了一種重要的解題思想。

五、案例分析題

16．【參考答案】

(1)第一位教師的教學(xué)方法是典型的講授法，從～開始便將分類的思想貫穿其中。教師直接給出幾個有理數(shù)加法算式并引導(dǎo)學(xué)生利用以前學(xué)過的有理數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行遷移，對有理數(shù)加法算式進(jìn)行分類，能夠使得學(xué)生快速地接受新知識。解決實際問題。

第二位教師在教學(xué)之初并沒有強調(diào)分類的重要性。但是該教師能夠以學(xué)生為主體，讓學(xué)生列舉一些有理數(shù)的加法的算式，充分調(diào)動了學(xué)生的主觀能動性。再通過小組討論，學(xué)生交流等過程，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性給與了充分的時間與空間，對有理數(shù)加法進(jìn)行討論計算，有助于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

(2)舉例1：關(guān)于x的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解)，則a的值為_________。

本題的解題過程中，需要學(xué)生展開分類討論，不僅要考慮一元二次方程兩根相同的情況，還應(yīng)考慮到在二次項系數(shù)為零且一次項系數(shù)不為0時的一元一次方程也同樣滿足題意。

分類的過程就是對事物共性的抽象過程，在教學(xué)活動中，要使學(xué)生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類過程中如何認(rèn)識對象的性質(zhì)．如何區(qū)別不同對象的不同性質(zhì)。分類討論是一種思想方法，需要滲透到學(xué)生的意識中，才能有效指導(dǎo)實踐，滲透的過程不是一蹴而就的，而是需要在教學(xué)過程中，多次反復(fù)地思考和長時間的積累才能將這種思維方式不斷融入知識學(xué)習(xí)的各個階段。

六、教學(xué)設(shè)計題

17．【參考答案】

(1)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”的其中一條是：在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中。發(fā)展合情推理和演繹推理能力．清晰地表達(dá)自己的想法。而本節(jié)課所涉及的“數(shù)學(xué)思考的方法”是學(xué)生在參與四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和的探究過程中，猜想多邊形的內(nèi)角和是(n-2)×180°，然后通過添加輔助線

(對角線)等方法證明此結(jié)論，并讓學(xué)生說出自己的探究過程，最后用數(shù)學(xué)語言表示出多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。

(2)第一種：

如何利用三角形的內(nèi)角和求出四邊形的內(nèi)角和。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：只需連接一條對角線，即可將一個四邊形分割為兩個三角形。學(xué)生說出證明過程。教師板書。

追問1：這里連接對角線起到什么作用?

預(yù)設(shè)：將四邊形分割成兩個三角形，進(jìn)而將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形所有內(nèi)角的和的問題。

追問2：類似地，你能知道五邊形、六邊形的內(nèi)角和是多少度嗎?

問題：你能從四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和的研究過程獲得啟發(fā)。猜想多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系(n-2)×180°。

第二種：

提問：前面我們通過從一個頂點出發(fā)作對角線，將多邊形分割成幾個三角形。進(jìn)而探究出n邊形的內(nèi)角和，

那么，是否還有其他分割多邊形的方法呢?

(3)方法一：先讓學(xué)生回憶多邊形的對角線的求法：從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作(n-3)條對角線。它們將n邊形分成(n-2)個三角形，這(n-2)個三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，由于一個三角形的內(nèi)角和是180°，所以n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。

方法二：前面我們通過從一個頂點出發(fā)作對角線，將多邊形分割成幾個三角形，進(jìn)而探究出n邊形的內(nèi)角和，那么，是否還有其他分割多邊形的方法呢?

學(xué)生活動：學(xué)生自主探究，小組討論交流，并讓小組代表板演并講解思路。學(xué)生可能有以下幾種方法：

(4)問題一設(shè)計意圖：采用簡單的四邊形進(jìn)行引導(dǎo)，利于學(xué)生迅速掌握知識。學(xué)生利用輔助線多角度的把多邊形的內(nèi)角和靈活地轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并為下面五邊形、六邊形以及n邊形的內(nèi)角和做鋪墊。

問題二設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生動手操作、動腦思考、小組討論．從四邊形到五邊形再到六邊形．以知識遷移的方式進(jìn)一步體會將多邊形分割成幾個三角形的化歸過程。也進(jìn)一步明確了邊數(shù)、對角線條數(shù)、三角形數(shù)對多邊形內(nèi)角和的影響，為從具體的多邊形抽象到一般的n邊形的內(nèi)角和的研究奠定基礎(chǔ)。