二、幾何布朗運(yùn)動(dòng)

　　1.幾何布朗運(yùn)動(dòng)的定義

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)(GBM) (也叫做指數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)) 是連續(xù)時(shí)間情況下的隨機(jī)過(guò)程，其中隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)遵循布朗運(yùn)動(dòng). 幾何布朗運(yùn)動(dòng)在金融數(shù)學(xué)中有所應(yīng)用，用來(lái)在布萊克-舒爾斯定價(jià)模型中模仿股票價(jià)格。法國(guó)數(shù)學(xué)家巴舍利耶在《投機(jī)交易理論》一文中提出股票價(jià)格遵循布朗運(yùn)動(dòng)。保羅·薩繆爾森1965年首次提出了股價(jià)S應(yīng)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

　　2.相關(guān)方程式

　　1)股價(jià)S的隨機(jī)微分方程形式為：

　　上式中，S表示t時(shí)刻的股價(jià)，μ、σ為常量，分別表示股票的期望收益率和波動(dòng)率，Bt服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。從公式可以看出，股票價(jià)格在短時(shí)期內(nèi)的變動(dòng)(即收益)來(lái)源于兩個(gè)方面：①短時(shí)間內(nèi)的預(yù)期收益率的變化;②隨機(jī)正態(tài)波動(dòng)項(xiàng)。

　　3、應(yīng)用：

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)在布萊克-舒爾斯定價(jià)模型被用來(lái)定性股票價(jià)格，因而也是最常用的描述股票價(jià)格的模型。使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的理由:

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)的期望與隨機(jī)過(guò)程的價(jià)格(股票價(jià)格)是獨(dú)立的, 這與我們對(duì)現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)的期望是相符的。

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程只考慮為正值的價(jià)格, 就像真實(shí)的股票價(jià)格。

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程與我們?cè)诠善笔袌?chǎng)觀察到的價(jià)格軌跡呈現(xiàn)了同樣的“roughness” 。

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。.

　　然而，幾何布朗運(yùn)動(dòng)并不完全現(xiàn)實(shí)，尤其存在一下缺陷:

　　在真實(shí)股票價(jià)格中波動(dòng)隨時(shí)間變化 (possiblystochastically), 但是在幾何布朗運(yùn)動(dòng)中, 波動(dòng)是不隨時(shí)間變化的。

　　在真實(shí)股票價(jià)格中, 收益通常不服從正態(tài)分布 (真實(shí)股票收益有更高的峰度('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價(jià)格波動(dòng)).