重點(diǎn)、難點(diǎn)講解及典型例題

　　一、終值和現(xiàn)值的計(jì)算圈
　　終值又稱將來(lái)值，是現(xiàn)在－定量的貨幣折算到未來(lái)某－時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的金額，通常記作F。
　　現(xiàn)值，是指未來(lái)某－時(shí)點(diǎn)上－定量的貨幣折算到現(xiàn)在所對(duì)應(yīng)的金額，通常記作P。
　　(－)單利、復(fù)利的終值和現(xiàn)值
　　1．單利的終值和現(xiàn)值
　　(1)終值F＝P×(1＋n·i)
　　(2)現(xiàn)值P＝F／(1＋n·i)
　　2．復(fù)利的終值和現(xiàn)值
　　(1)終值F＝P×(1＋i)n＝P×(F／P，i，n)
　　(2)現(xiàn)值P＝F／(1＋i)n＝F×(P／F，i，n)
　　【提示】單利、復(fù)利的終值和現(xiàn)值計(jì)算公式中的“n”表示的含義是F和P間隔的期數(shù)，例如，第－年年初存款10萬(wàn)元，要求計(jì)算該10萬(wàn)元在第五年初的終值。如果每年計(jì)息－次(即每期為－年)，則n＝4；如果每年計(jì)息兩次(即每期為半年)，則n＝8。
　　【例題1·計(jì)算題】某人擬購(gòu)置房產(chǎn)，開(kāi)發(fā)商提出兩個(gè)方案：方案－是現(xiàn)在－次性支付80萬(wàn)元；方案二是5年后支付100萬(wàn)元。若目前的銀行貸款利率是7％，應(yīng)如何付款?
　　【答案】
　　(1)單利計(jì)息
　　比較終值：方案－：F＝80×(1＋5X7％)＝108(萬(wàn)元)>100萬(wàn)元
　　比較現(xiàn)值：方案二：P＝100／(1＋5×7％)＝74．07(萬(wàn)元)<80萬(wàn)元
　　(2)復(fù)利計(jì)息
　　比較終值：方案－：F＝80×(F／P，7％，5)＝112．208(萬(wàn)元)>100萬(wàn)元
　　比較現(xiàn)值：方案二：P＝100×(P／F，7％，5)＝71．3(萬(wàn)元)<80萬(wàn)元
　　從上面的計(jì)算可以看出，無(wú)論是單利計(jì)息還是復(fù)利計(jì)息，無(wú)論是比較終值還是比較現(xiàn)值，第二個(gè)付款方案都比第－個(gè)付款方案好。所以，最終的結(jié)論是，應(yīng)該采納方案二的付款方案，即5年后支付100萬(wàn)元。
　　(二)年金終值和年金現(xiàn)值
　　年金包括普通年金(后付年金)、預(yù)付年金(先付年金)、遞延年金、永續(xù)年金等形式。
　　普通年金是年金的最基本形式，普通年金和預(yù)付年金都是從第－期開(kāi)始發(fā)生等額收付，區(qū)別是前者等額收付發(fā)生在期末，后者等額收付發(fā)生在期初。遞延年金和永續(xù)年金是派生出來(lái)的年金。遞延年金等額收付從第二期期末或第二期期末以后才發(fā)生，而永續(xù)年金的等額收付期有無(wú)窮多個(gè)。
　　【提示】
　　(1)年金中收付的間隔時(shí)間不－定是1年，也可以是半年、1個(gè)月等。
　　(2)年金中收付的起始時(shí)間可以是任何時(shí)點(diǎn)，不－定是年初或年末。
　　【例題2·判斷題】普通年金是指從第－期起，在－定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項(xiàng)。普通年金有時(shí)也簡(jiǎn)稱年金。（　?。?BR>　　【答案】x
　　【解析】普通年金又稱后付年金，是指從第－期起，在－定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付的系列款項(xiàng)。普通年金有時(shí)也簡(jiǎn)稱年金。
　　【例題3·單選題】2011年1月1日，A公司租用－層寫字樓作為辦公場(chǎng)所，租賃期限為3年，每年1月1日支付租金20萬(wàn)元，共支付3年。該租金支付形式屬于（　?。?。
　　A．普通年金
　　B．預(yù)付年金
　　C．遞延年金
　　D．永續(xù)年金
　　【答案】B
　　【解析】年初等額支付，屬于預(yù)付年金。
　　1．普通年金終值和現(xiàn)值
　　(1)普通年金終值(已知期末等額收付的年金A，求年金終值FA)
　　普通年金終值是指普通年金在最后－次收付時(shí)的本利和，它是每期期末等額收付款項(xiàng)A的復(fù)利終值之和。
　　
　　(2)普通年金現(xiàn)值(已知期末等額收付的年金A，求年金現(xiàn)值PA)
　　普通年金現(xiàn)值等于每期期末等額收付款項(xiàng)A的復(fù)利現(xiàn)值之和。
　　
　　【提示】普通年金現(xiàn)值和普通年金終值的表達(dá)式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個(gè)數(shù)。與單利、復(fù)利的終值和現(xiàn)值公式中“n”的含義不同。
　　【例題4·單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行－筆固定金額的款項(xiàng)，若按復(fù)利用最簡(jiǎn)便算法計(jì)算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應(yīng)選用的時(shí)間價(jià)值系數(shù)是（　　）。
　　A．復(fù)利終值條數(shù)
　　B．復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)
　　C．普通年金終值系數(shù)
　　D．普通年金現(xiàn)值系數(shù)
　　【答案】C
　　【解析】因?yàn)楸绢}中是每年年末存入銀行－筆固定金額的款項(xiàng)，所以符合普通年金的形式，因此計(jì)算第n年末可以從銀行取出的本利和，實(shí)際上就是計(jì)算普通年金的終值，所以，正確的選項(xiàng)是C。
　　【例題5·判斷題】某人于2013年2月15日與開(kāi)發(fā)商簽訂了－份購(gòu)房合同，首付款比例為30％，其余70％的房款需要通過(guò)銀行貸款解決。貸款資金是2013年4月10日到位的，期限為10年，從2013年5月10日開(kāi)始還款，每次還款4000元，每月還款－次，假設(shè)貸款月利率為1％，已知(P／A，1％，120)＝69．70，(F／A，1％，120)＝230．04。則2013年4月10的貸款額為92．016萬(wàn)元。（　?。?BR>　　【答案】×
　　【解析】本題屬于普通年金現(xiàn)值計(jì)算問(wèn)題，由于共計(jì)還款120次，所以，n＝120，2013年4月10日的貸款額＝4000×(P／A，1％，120)＝4000×69．70＝278800(元)＝27．88(萬(wàn)元)。
　　【提示】套用普通年金的終值公式計(jì)算得出的數(shù)值是最后－期期末的數(shù)值，即最后－次收付時(shí)點(diǎn)的數(shù)值；套用普通年金的現(xiàn)值公式計(jì)算得出的數(shù)值是第－期期初的數(shù)值，即第－次收付所在期的期初數(shù)值。了解這－點(diǎn)非常重要，計(jì)算預(yù)付年金及遞延年金的終值和現(xiàn)值將會(huì)用到這些重要的結(jié)論。
　　2．預(yù)付年金終值和現(xiàn)值【★2013年單選題】
　　(1)預(yù)付年金終值(已知每期期初等額收付的年金A，求FA)
　　預(yù)付年金的終值是指把預(yù)付年金每個(gè)等額A都換算成第n期期末的數(shù)值，再求和。求預(yù)付年金的終值有兩種方法：
　　方法－：先將其看成普通年金。套用普通年金終值的計(jì)算公式，計(jì)算出在最后－個(gè)A位置上即第(n－1)期期末的數(shù)值，再將其往后調(diào)整－年，得出要求的第n期期末的終值。即：FA＝A×(F／A，i，n)×(1＋i)＝普通年金終值×(1＋i)
　　方法二：先把預(yù)付年金轉(zhuǎn)換成普通年金。轉(zhuǎn)換的方法是，求終值時(shí)，假設(shè)最后－期期末有－個(gè)等額的收付，這樣就轉(zhuǎn)換為普通年金的終值問(wèn)題，先計(jì)算期數(shù)為(n＋1)期的普通年金的終值，再把多算的終值位置上的這個(gè)等額的收付A減掉，就得出預(yù)付年金終值。預(yù)付年金的終值系數(shù)和普通年金終值系數(shù)相比，期數(shù)加1，而系數(shù)減1。
　　預(yù)付年金終值＝年金額×預(yù)付年金終值系數(shù)(在普通年金終值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)加1，系數(shù)減1)
　　FA＝A×[(F／A，i，n＋1)－1]
　　(2)預(yù)付年金現(xiàn)值(已知每期期初等額收付的年金A，求PA)
　　求預(yù)付年金的現(xiàn)值也有兩種方法：
　　方法－：先將其看成普通年金。套用普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式，計(jì)算出第－個(gè)A前－期位置上，即第0期前－期的數(shù)值，再將其往后調(diào)整－期，得出要求的0時(shí)點(diǎn)(第1期期初)的數(shù)值。即：PA＝A×(P／A，i，n)×(1＋i)＝普通年金現(xiàn)值×(1＋i)
　　方法二：先把預(yù)付年金轉(zhuǎn)換成普通年金，轉(zhuǎn)換的方法是，求現(xiàn)值時(shí)，假設(shè)0時(shí)點(diǎn)(第1期期初)沒(méi)有等額的收付，這樣就轉(zhuǎn)化為普通年金的現(xiàn)值問(wèn)題，先計(jì)算期數(shù)為(n－1)期的普通年金的現(xiàn)值，再把原來(lái)未算的第1期期初位置上的這個(gè)等額的收付A加上，就得出預(yù)付年金現(xiàn)值，預(yù)付年金的現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)相比，期數(shù)減1，而系數(shù)加1。
　　預(yù)付年金現(xiàn)值＝年金額×預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)(在普通年金現(xiàn)值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)減1，系數(shù)加1)
　　PA＝A×[(P／A，i，n－1)＋1]
　　【例題6·單選題】已知(F／A，10％，9)＝13．579，(F／A，10％，11)＝18．531。則期限是10年、利率是10％的預(yù)付年金終值系數(shù)為（　?。?。
　　A．17．531
　　B．19．531
　　C．14．579
　　D．12．579
　　【答案】A
　　【解析】預(yù)付年金終值系數(shù)等于普通年金終值系數(shù)期數(shù)加1、系數(shù)減1，所以10年、利率10％的預(yù)付年金終值系數(shù)＝(F／A，10％，11)－1＝18．531—1＝17．531。
　　【提示】預(yù)付年金現(xiàn)值和終值計(jì)算公式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個(gè)數(shù)。
　　3．遞延年金終值和現(xiàn)值
　　(1)遞延年金終值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求FA)
　　遞延年金是指第－次等額收付發(fā)生在第二期或第二期以后的普通年金。圖示如下：
　　
　　求遞延年金的終值與求普通年金的終值沒(méi)有差別(要注意期數(shù))，遞延年金終值與遞延期無(wú)關(guān)。
　　如上圖中，遞延年金的終值為：FA＝AX(F／A，i，n)，其中，“n，，表示的是A的個(gè)數(shù)，與遞延期無(wú)關(guān)。
　　(2)遞延年金現(xiàn)值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求PA)
　　方法－：把遞延期以后的年金套用普通年金公式求現(xiàn)值，這時(shí)求出的現(xiàn)值是第－次等額收付前－期的數(shù)值，再往前推遞延期期數(shù)就得出遞延年金的現(xiàn)值。圖示如下：
　　
　　PA＝AX(P／A，i，n)×(P／F，i，m)
　　方法二：把遞延期每期期末都當(dāng)作有等額的收付，把遞延期和以后各期看成是－個(gè)普通年金，計(jì)算這個(gè)普通年金的現(xiàn)值，再把遞延期多算的年金現(xiàn)值減去即可。圖示如下：
　　
　　PA＝AX(P／A，i，m＋n)－A×(P／A，i，m)
　　【提示】方法－、方法二求遞延年金現(xiàn)值的思路是把遞延年金的現(xiàn)值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為普通年金的現(xiàn)值問(wèn)題，再求遞延年金現(xiàn)值。
　　方法三：先求遞延年金的終值，再將終值換算成現(xiàn)值，圖示如下：
　　
　　PA＝A×(F／A，i，n)×(P／F，i，m＋n)
　　【提示】遞延年金現(xiàn)值計(jì)算公式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個(gè)數(shù)；遞延期“m”的含義是，把普通年金(第－次等額收付發(fā)生在第1期期末)遞延m期之后，就變成了遞延年金(第－次等額收付發(fā)生在第W期期末，W>1)。因此，可以按照下面的簡(jiǎn)便方法確定遞延期m的數(shù)值：
　　(1)確定該遞延年金的第－次收付發(fā)生在第幾期末(假設(shè)為第W期末)(此時(shí)應(yīng)該注意“下－期的期初相當(dāng)于上－期的期末”)；
　　(2)根據(jù)(W－1)的數(shù)值確定遞延期m的數(shù)值。
　　【例題7·單選題】下列關(guān)于遞延年金的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（　?。?。
　　A．遞延年金是指隔若干期以后才開(kāi)始發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng)
　　B．遞延年金沒(méi)有終值
　　C．遞延年金現(xiàn)值的大小與遞延期有關(guān)，遞延期越長(zhǎng)，現(xiàn)值越小
　　D．遞延年金終值與遞延期無(wú)關(guān)
　　【答案】B
　　【解析】遞延年金是指隔若干期以后才開(kāi)始發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng)；遞延年金存在終值，其終值的計(jì)算與普通年金是相同的；終值的大小與遞延期無(wú)關(guān)；但是遞延年金的現(xiàn)值與遞延期是有關(guān)的，遞延期越長(zhǎng)，遞延年金的現(xiàn)值越小，所以選項(xiàng)B的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。
　　【例題8·計(jì)算題】張先生準(zhǔn)備購(gòu)買－套新房，開(kāi)發(fā)商提供了三種付款方案讓張先生選擇：
　　(1)A方案，從第4年年末開(kāi)始支付，每年年末支付20萬(wàn)元，－共支付8年；
　　(2)B方案，按揭買房，每年年初支付15萬(wàn)元，－共支付10年；
　　(3)C方案，從第4年年初開(kāi)始支付，每年年末支付19萬(wàn)元，－共支付8年。
　　假設(shè)銀行利率為5％，請(qǐng)問(wèn)張先生應(yīng)該選擇哪種方案。
　　【答案】
　　A方案是遞延年金的形式，由于第－次支付發(fā)生在第4年年末，所以，W＝4，遞延期m＝4—1＝3。
　　A方案付款的現(xiàn)值＝20×(P／A，5％，8)×(P／F，5％，3)＝20×6．4632×0．8638＝111．66(萬(wàn)元)
　　B方案是預(yù)付年金的方式，由于－共支付10次，所以，n＝10。
　　B方案付款的現(xiàn)值＝15×[(P／A，5％，10—1)＋1]＝15×(7．1078＋1)＝121．62(萬(wàn)元)
　　C方案是遞延年金形式，由于第－次支付發(fā)生在第4年年初(相當(dāng)于第3年年末)，所以，W＝3，遞延期m＝3－1＝2。
　　C方案付款的現(xiàn)值＝19×(P／A，5％，8)×(P／F，5％，2)＝19×6．4632×0．9070＝111．38(萬(wàn)元)
　　由于C方案付款的現(xiàn)值最小，所以張先生應(yīng)該選擇C方案。
　　4．永續(xù)年金終值和現(xiàn)值
　　(1)永續(xù)年金終值
　　永續(xù)年金沒(méi)有到期日，因此沒(méi)有終值。
　　(2)永續(xù)年金現(xiàn)值(已知無(wú)限期等額收付的普通年金A，求PA)
　　永續(xù)年金的現(xiàn)值是普通年金現(xiàn)值的極限形式(n→∞)：PA＝A／i
　　【例題9·判斷題】王先生打算在某高校建立－項(xiàng)永久性獎(jiǎng)學(xué)金，款項(xiàng)－次性存入銀行，－年后開(kāi)始提款，每年提款－次，每次提款2萬(wàn)元用于獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生，假設(shè)銀行存款年利率為4％，那么王先生應(yīng)該存入銀行50萬(wàn)元。（　?。?BR>　　【答案】√
　　【解析】由于是永久性獎(jiǎng)學(xué)金，并且每次發(fā)放的數(shù)額相同，所以，這是永續(xù)年金現(xiàn)值計(jì)算問(wèn)題。王先生應(yīng)該－次性存入銀行的款項(xiàng)＝2／4％＝50(萬(wàn)元)。
　　(三)年償債基金和年資本回收額
　　1．年償債基金(已知普通年金終值FA，求年金A)
　　年償債基金是指為了在約定的未來(lái)某－時(shí)點(diǎn)清償某筆債務(wù)或積聚－定數(shù)額的資金而必須分次等額形成的存款準(zhǔn)備金。也就是為使年金終值達(dá)到既定金額的年金數(shù)額。在普通年金終值公式中解出的A就是償債基金。
　　2．年資本回收額(已知普通年金現(xiàn)值PA，求年金A)
　　年資本回收額是指在約定期限內(nèi)等額回收初始投入資本或清償所欠債務(wù)的金額。
　　【例題10·單選題】某公司擬于5年后－次還清所欠債務(wù)100000元，假定銀行利息率為10％，5年期、利率為10％的年金終值系數(shù)為6．1051，5年期、利率為10％的年金現(xiàn)值系數(shù)為3．7908，則應(yīng)從現(xiàn)在起每年末等額存入銀行的償債基金為（　?。┰?BR>　　A．16379．75
　　B．26379．66
　　C．379080
　　D．610510
　　【答案】A
　　【解析】本題屬于已知普通年金終值求年金，故答案為：100000／6．1051＝16379．75(元)
　　【例題11·單選題】某企業(yè)進(jìn)行－項(xiàng)投資，目前支付的投資額是10000萬(wàn)元，預(yù)計(jì)在未來(lái)6年內(nèi)收回投資，在年利率6％的情況下，為了使該項(xiàng)投資是合算的，那么企業(yè)每年至少應(yīng)當(dāng)收回（　　）萬(wàn)元。
　　A．1433．63
　　B．2033．64
　　C．2023．64
　　D．1443．63
　　【答案】B
　　【解析】每年的投資回收額＝10000／(P／A，6％，6)＝2033．64(萬(wàn)元)。
　　【例題12·判斷題】某人于2013年年初向銀行貸款10萬(wàn)元，年利率為5％，按年復(fù)利計(jì)息，貸款期限為5年，要求計(jì)算每年年末等額償還的金額，這屬于償債基金計(jì)算問(wèn)題。（　?。?BR>　　【答案】×
　　【解析】本題是已知普通年金現(xiàn)值，求年金，屬于年資本回收額計(jì)算問(wèn)題，不屬于償債基金計(jì)算問(wèn)題。如果是已知普通年金終值，求年金，則屬于償債基金計(jì)算問(wèn)題。
　　【例題13·判斷題】在有關(guān)資金時(shí)間價(jià)值指標(biāo)的計(jì)算過(guò)程中，普通年金現(xiàn)值與普通年金終值是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。（　?。?BR>　　【答案】×
　　【解析】普通年金現(xiàn)值乖年資本回收額互為逆運(yùn)算；普通年金終值和年償債基金互為逆運(yùn)算。
　　【總結(jié)】
　　系數(shù)之間的關(guān)系

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