（一）假設(shè)前提
為了構(gòu)建其期權(quán)定價(jià)模型，布萊克與肖萊斯提出了如下假設(shè)：
第一，作為基礎(chǔ)商品的股票價(jià)格是隨機(jī)波動(dòng)的，且滿足幾何維納過程(geometric wiener process)。這意味著：１．基礎(chǔ)商品價(jià)格波動(dòng)是獨(dú)立的，將來的價(jià)格水平只與現(xiàn)在的價(jià)格相關(guān)，與過去的價(jià)格無關(guān)。２．基礎(chǔ)商品價(jià)格不能停止變動(dòng)，且這種波動(dòng)是連續(xù)的。３．在極短時(shí)間內(nèi)，基礎(chǔ)商品價(jià)格只能有微小的波動(dòng)，不會(huì)出現(xiàn)跳躍。用數(shù)學(xué)公式來表示，即為：
ds[t]=ms[t]d[t]+σs[t]d[z] （１）
其中s[t]表示股票價(jià)格，m為瞬時(shí)期望收益。σ為無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，dz為標(biāo)準(zhǔn)維納過程，是期望值為０，標(biāo)準(zhǔn)差為１的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量。
第二，股價(jià)服從于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這是幾何維納過程所隱含的一個(gè)條件，表示股價(jià)的對(duì)數(shù)滿足正態(tài)分布?！ ?
這一分布具有兩個(gè)特點(diǎn)：１．非對(duì)稱性。即變量對(duì)均值上升與下跌相同幅度的概率不一樣，一般股價(jià)上升１００%的概率與下降５０%的概率相當(dāng)〔（１）ｂ〕。正因?yàn)槿绱?，保證了股價(jià)的非負(fù)性。２．從概率分布圖向兩翼，特別是向右的擴(kuò)展可以看出，股票價(jià)格較大幅度地偏離均值的概率也是不容忽視的，但總體上股票價(jià)格在均值附近窄幅波動(dòng)的情況更普遍。
第三，資本市場(chǎng)完善。即不存在交易手續(xù)費(fèi)、稅收及保證金等因素。
第四，市場(chǎng)提供了連續(xù)交易機(jī)會(huì)。即假定所有的股票都是無限可分的，交易者能在無交易成本情況下，不斷調(diào)整股票與期權(quán)的頭寸狀況，得到無風(fēng)險(xiǎn)組合。
第五，存在一無風(fēng)險(xiǎn)利率。在期權(quán)有效期內(nèi)，投資者可以此利率無限制地存款或貸款。
第六，股票不派發(fā)股息，期權(quán)為歐洲期權(quán)。
第七，基礎(chǔ)商品價(jià)格波動(dòng)的離散度〔（２）ｂ〕為一常數(shù)。
（二）布－模型的主要內(nèi)容 來源：考試大
?。保I方期權(quán)定價(jià)
基于上述假設(shè)，布萊克與肖萊斯認(rèn)為期權(quán)提供了對(duì)股票組合進(jìn)行保值的有效的途徑。在股票投資中存在著系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，后者可以通過投資對(duì)象的分散化來減少，但前者卻不能。但如果把股票市場(chǎng)與期權(quán)市場(chǎng)聯(lián)系起來，則投資者就可以不斷地調(diào)整股票與期權(quán)的頭寸狀況，形成一個(gè)完全抵補(bǔ)的資產(chǎn)組合，在該組合中，股票投資的損益剛好可被期權(quán)交易的益損沖抵，從而消除了股票投資的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。此時(shí)，股票與期權(quán)組合的收益率應(yīng)該等同于無風(fēng)險(xiǎn)債券的收益率（即無風(fēng)險(xiǎn)利率），期權(quán)的價(jià)格也即其均衡價(jià)格〔（３）ｂ〕。
現(xiàn)假定我們擁有q[s]股的某種股票，為了消除系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，需賣出一定數(shù)量的股票期權(quán)（q[c]個(gè)合約，為簡(jiǎn)便，假設(shè)一個(gè)合約的單位為１股），則：v[h]=q[s]·s-q[c]·c （２）
v[h]表示該組合的初始狀況，c為買方期權(quán)價(jià)格，s為股票市價(jià)，減號(hào)表示賣出?！ ?
令q[s]=1，并將（３）式代入（５）式，得出：
因?yàn)楣蓛r(jià)形成服從幾何維納過程（見（１）式），根據(jù)這一類隨機(jī)過程的特點(diǎn)，可得到如下伊藤公式〔（１）ｃ〕：
對(duì)于買方期權(quán)，其價(jià)格還具有如下特點(diǎn)：
其中n(d[1])與n(d[2])分別表示相應(yīng)偏離程度小于d[1]與d[2]的概率，可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)表中查到。t表示期權(quán)剩余的有效期限。（１１）式即是布－肖模型所給出的買方期權(quán)定價(jià)的基本公式，從中可看出： 來源：www.examda.com
第一，買方期權(quán)的價(jià)格完全取決于五個(gè)基本的變量，即基礎(chǔ)商品的市場(chǎng)價(jià)格(s)、期權(quán)的協(xié)定價(jià)格(x)、剩余的有效期限(t)、無風(fēng)險(xiǎn)收益率(r)以及股票價(jià)格的離散度(σ)。在這些變量中，其中一個(gè)變化而其余保持不變，則買方期權(quán)的價(jià)格變化將呈現(xiàn)如下情況：（１）基礎(chǔ)商品價(jià)格越高，買方期權(quán)價(jià)格越高；（２）剩余有效期限越長，買方期權(quán)價(jià)格越高；（３）無風(fēng)險(xiǎn)收益率越大，買方期權(quán)價(jià)格越高；（４）協(xié)定價(jià)格越高，買方期權(quán)價(jià)格越低；（５）基礎(chǔ)商品價(jià)格離散度越大，買方期權(quán)價(jià)格越大。
第二，買方期權(quán)價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好以及對(duì)股票價(jià)格的預(yù)期等因素沒有關(guān)系。只要能得到上述的五個(gè)基本變量，就可以得到相應(yīng)的買方期權(quán)的價(jià)格。
?。玻畾W洲賣方期權(quán)的定價(jià)
在得到了歐洲買方期權(quán)的定價(jià)公式后，很容易從中推導(dǎo)出同期限與協(xié)定價(jià)格的歐洲賣方期權(quán)的定價(jià)公式。根據(jù)期權(quán)的內(nèi)在特點(diǎn)，在同一基礎(chǔ)商品的同期限與協(xié)定價(jià)格的買方期權(quán)與賣方期權(quán)之間存在著一定的平價(jià)關(guān)系，即：
p=c+pv[t]〔x〕-s〔（１）ｄ〕
其中p、c分別表示相應(yīng)的賣方期權(quán)與買方期權(quán)的價(jià)格，pv[t]〔x〕表示將來t時(shí)x的金額的現(xiàn)值。將（１１）式代入上述平價(jià)公式，整理后得到：
（１４）
從該式中可看出，決定其價(jià)格的基本因素與買方期權(quán)一樣，但變化方向不盡相同。期權(quán)的協(xié)定價(jià)格、剩余有效期限以及基礎(chǔ)商品價(jià)格的離散度與賣方期權(quán)的價(jià)格存在正向關(guān)系，而基礎(chǔ)商品市場(chǎng)價(jià)格與無風(fēng)險(xiǎn)利率和賣方期權(quán)價(jià)格之間則是反向關(guān)系。
?。ㄈ?duì)布－肖模型的檢驗(yàn)、批評(píng)與發(fā)展
布－肖模型問世以來，受到普遍的關(guān)注與好評(píng)，有的學(xué)者還對(duì)其準(zhǔn)確性開展了深入的檢驗(yàn)。但同時(shí)，不少經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)模型中存在的問題亦發(fā)表了不同的看法，并從完善與發(fā)展布－肖模型的角度出發(fā)，對(duì)之進(jìn)行了擴(kuò)展。
?。保梗罚纺昝绹鴮W(xué)者伽萊(galai)利用芝加哥期權(quán)交易所上市的股票權(quán)的數(shù)據(jù)，首次對(duì)布－肖模型進(jìn)行了檢驗(yàn)。此后，不少學(xué)者在這一領(lǐng)域內(nèi)作了有益的探索。其中比較有影響的代表人物有特里皮(trippi)、奇拉斯(chiras)、曼納斯特(manuster)、麥克貝斯(macbeth)及默維勒(merville)等。綜合起來，這些檢驗(yàn)得到了如下一些具有普遍性的看法：１．模型對(duì)平值期權(quán)的估價(jià)令人滿意，特別是對(duì)剩余有效期限超過兩月，且不支付紅利者效果尤佳。２．對(duì)于高度增值或減值的期權(quán)，模型的估價(jià)有較大偏差，會(huì)高估減值期權(quán)而低估增值期權(quán)。３．對(duì)臨近到期日的期權(quán)的估價(jià)存在較大誤差。４．離散度過高或過低的情況下，會(huì)低估低離散度的買入期權(quán)，高估高離散度的買方期權(quán)。但總體而言，布－肖模型仍是相當(dāng)準(zhǔn)確的，是具有較強(qiáng)實(shí)用價(jià)值的定價(jià)模型。
對(duì)布－肖模型的檢驗(yàn)著眼于從實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)其表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)估。而另外的一些研究則從理論分析入手，提出了布－肖模型存在的問題，這集中體現(xiàn)于對(duì)模型假設(shè)前提合理性的討論上。不少學(xué)者認(rèn)為，該模型的假設(shè)前提過嚴(yán)，影響了其可靠性，具體表現(xiàn)在以下幾方面： 來源：www.examda.com
首先，對(duì)股價(jià)分布的假設(shè)。布－肖模型的一個(gè)核心假設(shè)就是股票價(jià)格波動(dòng)滿足幾何維納過程，從而股價(jià)的分布是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這意味著股價(jià)是連續(xù)的。麥頓(merton)、考克斯(cox)、羅賓斯坦(robinstein)以及羅斯(ross)等人指出，股價(jià)的變動(dòng)不僅包括對(duì)數(shù)正態(tài)分布的情況，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一種情況是不全面的。他們用二項(xiàng)分布取代對(duì)數(shù)正態(tài)分布，構(gòu)建了相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)模型。 考試大論壇
其次，關(guān)于連續(xù)交易的假設(shè)。從理論上講，投資者可以連續(xù)地調(diào)整期權(quán)與股票間的頭寸狀況，得到一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合。但實(shí)踐中這種調(diào)整必然受多方面因素的制約：１．投資者往往難以按同一的無風(fēng)險(xiǎn)利率借入或貸出資金；２．股票的可分性受具體情況制約；３．頻繁的調(diào)整必然會(huì)增加交易成本。因此，現(xiàn)實(shí)中常出現(xiàn)非連續(xù)交易的情況，此時(shí)，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好必然影響到期權(quán)的價(jià)格，而布－肖模型并未考慮到這一點(diǎn)。
再次，假定股票價(jià)格的離散度不變也與實(shí)際情況不符。布萊克本人后來的研究表明，隨著股票價(jià)格的上升，其方差一般會(huì)下降，而并非獨(dú)立于股價(jià)水平。有的學(xué)者（包括布萊克本人）曾想擴(kuò)展布－肖模型以解決變動(dòng)的離散度的問題，但至今未取得滿意的進(jìn)展。 本文來源:考試大網(wǎng)
此外，不考慮交易成本及保證金等的存在，也與現(xiàn)實(shí)不符。而假設(shè)期權(quán)的基礎(chǔ)股票不派發(fā)股息更限制了模型的廣泛運(yùn)用。不少學(xué)者認(rèn)為，股息派發(fā)的時(shí)間與數(shù)額均會(huì)對(duì)期權(quán)價(jià)格產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響，不能不加以考察。他們中有的人對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使之能反映股息的影響。具體來說，如果是歐洲買方期權(quán)，調(diào)整的方法是將股票價(jià)格減去股息(d)的現(xiàn)值替代原先的股價(jià)，而其他輸入變量不變，代入布－肖模型即可。若是美國買方期權(quán)，情況稍微復(fù)雜。第一步先按上面的辦法調(diào)整后得到不提早執(zhí)行情況下的價(jià)格。第二步需估計(jì)在除息日前立即執(zhí)行情況下期權(quán)的價(jià)格，將調(diào)整后的股價(jià)替代實(shí)際股價(jià)，距除息日的時(shí)間替代有效期限、股息調(diào)整后的執(zhí)行價(jià)格(x-d)替代實(shí)際執(zhí)行價(jià)格，連同無風(fēng)險(xiǎn)利率與股價(jià)離散度等變量代入模型即可。第三步選取上述兩種情況下期權(quán)的較大值作為期權(quán)的均衡價(jià)格。需指出的是，當(dāng)支付股息的情況比較復(fù)雜時(shí)，這種調(diào)整難度很大。
除上述對(duì)股息因素的考慮外，對(duì)布－肖模型的另一項(xiàng)主要擴(kuò)展即是把它推廣到利率期權(quán)、外匯期權(quán)以及期貨期權(quán)等的定價(jià)當(dāng)中，因篇幅有限，不再贅述。
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