3.相關(guān)分析

　　所謂相關(guān)分析，是研究現(xiàn)象之間是否存在某種依存關(guān)系，并對(duì)具體有依存關(guān)系的現(xiàn)象探討其相關(guān)方向以及相關(guān)程度，是研究隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。

　　變量之間的相關(guān)關(guān)系主要有線性相關(guān)和非線性相關(guān)、正相關(guān)和負(fù)相關(guān)等幾種形式。

　　對(duì)兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度的測(cè)量稱為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。樣本相關(guān)系數(shù)定義公式為:

　　式中，r為樣本相關(guān)系數(shù)，COVXY為協(xié)方差，Sx、Sy分別是變量x和y的標(biāo)準(zhǔn)差。(注意：公式中分子分母求和表達(dá)式中應(yīng)該是i=1到n，而不是n=1到n)

　　相關(guān)系數(shù)r的取值范圍在-1～+1之間。

　　·r=1或r=-1時(shí)，表明變量間的關(guān)系為完全正相關(guān)或完全負(fù)相關(guān)，這是兩種極端的情況，實(shí)際上表明兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系;

　　·r=0時(shí)，表明變量間不存在線性相關(guān)關(guān)系，可能是無(wú)相關(guān)，也可能是非線性相關(guān);

　　·0<1時(shí)，表明變量間存在正相關(guān)關(guān)系;< p>

　　·-l<0時(shí)，表明變量同存在負(fù)相關(guān)關(guān)系。< p>

　　|r|愈接近于l，變量間相關(guān)程度愈高，|r|愈接近于0，相關(guān)程度愈低。

　　在一般情況下，總體相關(guān)系數(shù)p是未知的，一般是用樣本相關(guān)系數(shù)r作為總體相關(guān)系數(shù)P的估計(jì)值。但由于存在樣本抽樣的隨機(jī)性，樣本相關(guān)系數(shù)并不直接反映總體相關(guān)程度，因而，計(jì)算出來(lái)的樣本相關(guān)系數(shù)在多大程度上值得信賴，需要進(jìn)行檢驗(yàn)。

　　|r|<自由度(df)為(n-2)的t統(tǒng)計(jì)量t(n-2)、顯著性為a(10%;5%)的相關(guān)系數(shù)(查相關(guān)系數(shù)表)，其相關(guān)性是顯著的。所謂“顯著水平”或r=0，指的是很少會(huì)發(fā)生的概率。

　　(教材這句話是錯(cuò)誤的，正確的表達(dá)為：

　　在實(shí)際中，因?yàn)檠芯磕康?、變量類型的不同，采用的相關(guān)分析也不同。比較常用的相關(guān)分析有二元定距變量的相關(guān)分析、二元定序變量的相關(guān)分析、偏相關(guān)分析和距離分析等。

　　(二)推論統(tǒng)計(jì)分析

　　推論統(tǒng)計(jì)是在隨機(jī)抽樣的基礎(chǔ)上，根據(jù)部分資料(數(shù)據(jù))推斷總體的方法，也即利用樣本資料對(duì)抽出樣本的總體做出推論的方法。

　　1.單個(gè)樣本的參數(shù)估計(jì)

　　參數(shù)是指總體的某一特征值，如均值、方差等，往往是未知數(shù);而根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本比例一般稱為樣本“統(tǒng)計(jì)量”。參數(shù)估計(jì)是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體未知參數(shù)進(jìn)行某種估計(jì)推斷。

　　(1)點(diǎn)估計(jì)。當(dāng)總體分布的形式已知，但其中的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知時(shí)，如果從總體中抽取一個(gè)樣本，用該樣本對(duì)未知參數(shù)作一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì)，稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。

　　例如：假設(shè)對(duì)北京1800萬(wàn)人的工資水平進(jìn)行調(diào)查，一般情況下，需要進(jìn)行抽樣調(diào)查，假設(shè)抽取1000個(gè)樣本，得出的平均工資為2500元每月，這個(gè)2500就是樣本的平均值，用 來(lái)表示，方差為200，所謂的點(diǎn)估計(jì)就是直接用樣本的均值和方差來(lái)表示總體的均值和方差，即北京1800萬(wàn)人的平均工資就是2500元，方差為200。

　　點(diǎn)估計(jì)有多種方法，如矩法、似然法、小二乘法等。

　　(2)區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)是用一個(gè)區(qū)間估計(jì)總體未知參數(shù)。設(shè)x1…，xn是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，對(duì)于給定的α(0<α<1)，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ1 (x1，…，x2)和θ2 (x1，…，xn)，使得：P(θ1<θ>θ2)=1—α，則稱1—α為信度(或置信度、置信概率)，(θ1θ2)是θ的信度為1—α的置信區(qū)間，α稱為顯著性水平。

　　置信區(qū)間給出了區(qū)間估計(jì)的程度，區(qū)間越小度越高。置信概率給出了區(qū)間估計(jì)的可靠性。

　　例如1800萬(wàn)人的工資進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，取α為10%，置信區(qū)間為(2300，2700)，就表示北京1800萬(wàn)人的平均工資μ有90%的概率落在2300到2700元之間?；蛘哒f(shuō)進(jìn)行100次估計(jì)時(shí)，有大約90次是位于2300到2700之間，有大約10次位于2300到2700之外。

　?、倏傮w方差σ2已知時(shí)，總體均值μ的區(qū)間估計(jì)(采用Z統(tǒng)計(jì)量)

　　置信度為l一α?xí)r，總體均值μ的置信區(qū)間為：

　　即： ，那么

　　是區(qū)間信度下的臨界點(diǎn)，稱可靠性系數(shù)。信度越高，可靠性系數(shù)越大。

　　是區(qū)間估計(jì)時(shí)已知n和σ，對(duì)應(yīng)一定的信度的置信區(qū)間的半徑，也就是估計(jì)時(shí)的允許誤差。

　?、诳傮w方差σ2未知時(shí)，總體均值μ的區(qū)間估計(jì)(采用t統(tǒng)計(jì)量)

　　如果總體服從正態(tài)分布，但σ2未知，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ建立置信區(qū)間。此時(shí)統(tǒng)計(jì)量不是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從自由度(df)為n-1的t分布。

　　此時(shí)，總體均值μ在置信度為1-α下的置信區(qū)間為：

　　2.單個(gè)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)

　　參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要組成部分，它們都是利用樣本信息對(duì)總體狀況做出某種推斷(判斷)，但是推斷的角度不同。

　　·參數(shù)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)，估計(jì)前總體參數(shù)是未知的。(例如，對(duì)北京市1800萬(wàn)人平均工資進(jìn)行調(diào)查，參數(shù)估計(jì)就是指在調(diào)查之前不知道平均工資是多少，然后采用抽樣調(diào)查，抽取1000個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查，這1000人的平均工資是2500，就認(rèn)為1800萬(wàn)人的平均工資是2500)

　　·假設(shè)檢驗(yàn)則是先對(duì)總體參數(shù)的值提出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息，根據(jù)抽樣分布的原理去檢驗(yàn)原先提出的假設(shè)是否成立。(例如，對(duì)北京市1800萬(wàn)人平均工資進(jìn)行調(diào)查，假設(shè)檢驗(yàn)就是指在調(diào)查之前假設(shè)這1800萬(wàn)人的平均工資是3000，然后采用抽樣調(diào)查，抽取1000個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查，利用這1000人的平均工資數(shù)來(lái)判斷3000的假設(shè)對(duì)不對(duì))

　　進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，通常經(jīng)過(guò)以下步驟：

　　(1)提出原假設(shè)和替換(備擇)假設(shè)。預(yù)先所設(shè)的這一假設(shè)稱為原假設(shè)，用H0表示。與原假設(shè)相對(duì)的假設(shè)是替換假設(shè)，它是原假設(shè)經(jīng)檢驗(yàn)不成立被拒絕接受時(shí)，所應(yīng)接受的與原假設(shè)相對(duì)立的情況，用H1表示。

　　(2)確定并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

　　總體方差σ2已知時(shí)，應(yīng)用Z統(tǒng)計(jì)量(服從正態(tài)分布)，計(jì)算公式為：

　　總體方差σ2未知時(shí)，應(yīng)用t統(tǒng)計(jì)量(服從t分布)，計(jì)算公式為：

　　式中： 為樣本均值，μ0為原假設(shè)的參數(shù)值，σ(S)為總體(樣本)標(biāo)準(zhǔn)差

　　(3)規(guī)定顯著性水平α，并確定接受域與拒絕域的臨界值。通?？扇ˇ?0.05或α=0.01，查出 或者 的值，即接受域與拒絕域的臨界值。

　　(4)做出統(tǒng)計(jì)決策。

　　總體方差已知，用Z統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)：

　　如果|Z|< ，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值位于接受域，接受原假設(shè)，拒絕替換假設(shè);

　　如果|Z|> ，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值位于拒絕域，拒絕原假設(shè)，接受替換假設(shè)。

　　總體方差未知，用t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)：

　　如果|t|< ，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值位于接受域，接受原假設(shè)，拒絕替換假設(shè);

　　如果|t|> ，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值位于拒絕域，拒絕原假設(shè)，接受替換假設(shè)。